Körtételes probléma-alapú tanulási szcenarió

Az élénk színű tanteremben absztrakt, neonszínű, rózsaszín, sárga és narancssárga színekben pompázó, modern asztalok és kör alakú ülőhelyek találhatók, amelyeket egy nagy ablak és egy falra szerelt képernyő egészít ki, futurisztikus tanulási környezetet teremtve.
Az élénk színű tanteremben absztrakt, neonszínű, rózsaszín, sárga és narancssárga színekben pompázó, modern asztalok és kör alakú ülőhelyek találhatók, amelyeket egy nagy ablak és egy falra szerelt képernyő egészít ki, futurisztikus tanulási környezetet teremtve.

Probléma áttekintése

Ebben a problémaalapú tanulási helyzetben a köregyenletet egy modern okostanterem vezeték nélküli töltőrendszerének tervezésén keresztül fogod felfedezni. A köregyenletekkel, koordinátageometriával és optimalizálással kapcsolatos tudásodat fogod alkalmazni, hogy meghatározd a vezeték nélküli töltőadók optimális elhelyezését, biztosítva ezzel, hogy minden diák eszköze hatékonyan tölthessen.

Tanulási célok

  • A kör egyenlet standard formájának megértése és alkalmazása: (x-h)²+(y-k)²=r²

  • A kör egyenlet standard és általános formái közötti átváltás: x² + y² + Dx + Ey + F = 0

  • Egy kör középpontjának és sugarának meghatározása az egyenlete alapján

  • Pontok közötti távolság kiszámítása koordináta-rendszerben

  • A kör tulajdonságainak alkalmazása valós problémák megoldására

  • Objektumok optimális elhelyezése geometriai korlátok figyelembevételével

Valós kontextus

A modern tantermekben egyre nagyobb szerepet kap a technológia, a diákok táblagépeket, laptopokat és más eszközöket használnak. A vezeték nélküli töltési technológia gyorsan fejlődik, lehetővé téve, hogy az eszközöket fizikai kábelek nélkül töltsd fel, amikor egy töltőadó hatósugarán belül vannak. Ezeknek az adóknak azonban korlátozott a hatótávolsága, és telepítésük drága lehet.

Az iskolád egy "okostantermet" tervez vezeték nélküli töltési funkcióval. A vezetőség szeretné biztosítani, hogy minden diák padja vezeték nélküli töltést kaphasson, miközben a költségek figyelembe vételének érdekében minimálisra csökkentené a szükséges adók számát.

Probléma meghatározása

A csapatod feladata egy optimális vezeték nélküli töltőrendszer megtervezése az új okostanterem számára. A tanterem koordináta-rácson ábrázolható, ahol minden egység 1 métert jelent. A diákok padjai különböző koordinátákon helyezkednek el a teremben.

A vezeték nélküli töltőadók mindegyike egy 3 méteres sugarú körkörös töltési zónát biztosít. Tölteni csak azok az eszközök tudnak, amelyek ezen a körön belül helyezkednek el. Feladatod megállapítani, hány adóra van minimálisan szükség, és hová kell ezeket elhelyezni ahhoz, hogy minden diák padja legalább egy adó hatókörébe essen.

Tantermi adatok:

  • A tanterem méretei 10m × 8m (10 × 8 koordináta-rácsként ábrázolva)

  • 24 diákpad van rögzített pozíciókon (használd a Módosító Eszközt a koordináták megadásához)

  • Minden adó 25.000 Ft-ba kerül és 3m sugarú körkörös töltőmezőt hoz létre

  • A költségvetés legfeljebb 4 adót tesz lehetővé

Irányított kérdések

Kezdeti felfedezés

  • Hogyan tudjuk matematikailag ábrázolni egy vezeték nélküli töltőadó hatósugarát?

  • Ha egy adót a (4, 3) pozícióba helyezünk, írd fel annak a körnek az egyenletét, amely a töltési tartományát jelöli.

  • Ha egy pad a (7, 5) pozícióban van, határozd meg, hogy az a (4, 3) pozícióban lévő adó hatósugarán belül van-e.

Stratégia kidolgozása

  • Milyen információra van szükségünk annak megállapításához, hogy egy pont (pad) egy körön belül, kívül vagy rajta helyezkedik el?

  • Hogyan tesztelhetünk hatékonyan több lehetséges adó pozíciót?

  • Milyen matematikai megközelítés segíthet az optimális adó elhelyezés megtalálásában?

Megvalósítás

  • Ha adókat helyezünk el a (3, 2) és (7, 6) pozíciókban, írd fel mindkét töltőmező egyenletét.

  • Mely diákpadok vannak lefedve ezekkel az adókkal? Melyek maradnak fedetlenek?

  • Hogyan határozhatnánk meg a legjobb pozíciót egy harmadik adó számára a fennmaradó padok lefedésére?

Optimalizálás

  • Mi a minimális adószám, amely az összes padot lefedi?

  • Hogyan igazolhatjuk, hogy megoldásunk optimális?

  • Ha áthelyezhetnénk néhány padot, hogyan csökkenthetnénk a szükséges adók számát?

Várt megoldási útvonal

1. megközelítés: Geometriai vizualizáció és tesztelés

  • Probléma megértése: Rajzold fel az összes pad pozícióját egy koordináta-rácsra.

  • Töltőmezők ábrázolása: Ismerd fel, hogy minden adó egy (x-h)² + (y-k)² = 9 egyenletű kört hoz létre, ahol (h,k) az adó helye és a sugár 3m.

  • Stratégiai helyek tesztelése: Azonosítsd a padok csoportosulásait és teszteld az adók elhelyezését.

  • Lefedettség ellenőrzése: Minden lehetséges adó helyhez (h,k) ellenőrizd, hogy az egyes pad pozíciók (x,y) kielégítik-e a (x-h)² + (y-k)² ≤ 9 feltételt.

  • Optimalizálás: Iteratívan módosítsd az adó pozíciókat, hogy minimalizáld a szükséges számot.

Mintamegoldás: Különböző konfigurációk tesztelése után megállapíthatod, hogy három adó a (2.5, 2), (7.5, 2) és (5, 6) pozíciókban lefedheti mind a 24 padot. Ezt úgy ellenőrizheted, hogy megmutatod, minden (xᵢ, yᵢ) pad pozíció kielégít legalább egyet ezek közül az egyenlőtlenségek közül: (xᵢ - 2.5)² + (yᵢ - 2)² ≤ 9 (xᵢ - 7.5)² + (yᵢ - 2)² ≤ 9 (xᵢ - 5)² + (yᵢ - 6)² ≤ 9

2. megközelítés: Analitikus optimalizálás

  • Matematikai megfogalmazás: Határozd meg a problémát, mint a minimális számú 3-as sugarú kör megtalálását, amely lefedi az összes adott pontot.

  • Körlefedési algoritmus alkalmazása: Kutass és alkalmazz algoritmusokat a körlefedési problémára.

  • Középpont módszer használata: Azonosítsd a lehetséges kör középpontokat a padpozíciók páronkénti középpontjainak megtalálásával.

  • Lefedettség tesztelése: Minden lehetséges középpontra határozd meg, hány pad esik a 3m-es sugáron belülre.

  • Optimális középpontok kiválasztása: Válaszd ki a minimális számú középpontot, amelyek együttesen lefedik az összes padot.

Mintamegoldás: Használhatsz egy mohó algoritmus megközelítést:

  1. Az első adót úgy helyezd el, hogy a legtöbb padot fedje le

  2. Távolítsd el a lefedett padokat a megfontolásból

  3. Ismételd, amíg minden pad lefedett nem lesz Ez három adós megoldást eredményezhet a (3, 2.5), (8, 3) és (5, 6.5) pozíciókban.

3. megközelítés: Számítógépes szimuláció

  • Matematikai modell létrehozása: Fejlessz ki olyan függvényt, amely kiszámítja a lefedettséget bármely adó konfigurációra.

  • Tesztesetek generálása: Szisztematikusan tesztelj különböző adó elhelyezéseket.

  • Optimalizálási technikák alkalmazása: Alkalmazz kalkulusból származó koncepciókat vagy számítási módszereket az optimális pozíciók megtalálására.

  • Eredmények validálása: Ellenőrizd, hogy megoldásod megfelel-e minden korlátozásnak és költséghatékony-e.

Mintamegoldás: Írhatsz programot vagy használhatsz táblázatkezelőt különböző konfigurációk szimulálásához, megállapítva, hogy három adó a (2, 2), (8, 2) és (5, 6) pozíciókban optimális lefedettséget biztosít.

Kiegészítési lehetőségek

  • Költségoptimalizálás: Ha minden adó 25.000 Ft-ba kerül, és egy pad áthelyezése 5.000 Ft, költséghatékonyabb lenne-e átrendezni néhány padot a szükséges adók számának csökkentése érdekében?

  • Energiahatékonyság: Ha a töltési hatékonyság csökken az adótól való távolsággal az E = 100 - 10d² képlet szerint (ahol d a távolság méterben és E a hatékonyság százalékban), határozd meg az átlagos töltési hatékonyságot a konfigurációdra.

  • 3D kiterjesztés: Ha az adókat 2m magasságban szerelik fel a padlótól, és a padok 0,75m magasak, hogyan befolyásolja ez a töltési sugarat a pad felületén? (Ez bevezeti a 3D távolság és a gömbi egyenletek koncepcióját.)

  • Dinamikus tanterem: Tervezz algoritmust, amely automatikusan újraszámolná az optimális adó pozíciókat, ha a padok elrendezése változna a tanév során.

  • Valós adatgyűjtés: Mérd fel a tényleges tantermedet és pad pozíciókat, majd alkalmazd a matematikai modelled az optimális vezeték nélküli töltési megoldás meghatározásához a saját tantermedre.

Probléma áttekintése

Ebben a problémaalapú tanulási helyzetben a köregyenletet egy modern okostanterem vezeték nélküli töltőrendszerének tervezésén keresztül fogod felfedezni. A köregyenletekkel, koordinátageometriával és optimalizálással kapcsolatos tudásodat fogod alkalmazni, hogy meghatározd a vezeték nélküli töltőadók optimális elhelyezését, biztosítva ezzel, hogy minden diák eszköze hatékonyan tölthessen.

Tanulási célok

  • A kör egyenlet standard formájának megértése és alkalmazása: (x-h)²+(y-k)²=r²

  • A kör egyenlet standard és általános formái közötti átváltás: x² + y² + Dx + Ey + F = 0

  • Egy kör középpontjának és sugarának meghatározása az egyenlete alapján

  • Pontok közötti távolság kiszámítása koordináta-rendszerben

  • A kör tulajdonságainak alkalmazása valós problémák megoldására

  • Objektumok optimális elhelyezése geometriai korlátok figyelembevételével

Valós kontextus

A modern tantermekben egyre nagyobb szerepet kap a technológia, a diákok táblagépeket, laptopokat és más eszközöket használnak. A vezeték nélküli töltési technológia gyorsan fejlődik, lehetővé téve, hogy az eszközöket fizikai kábelek nélkül töltsd fel, amikor egy töltőadó hatósugarán belül vannak. Ezeknek az adóknak azonban korlátozott a hatótávolsága, és telepítésük drága lehet.

Az iskolád egy "okostantermet" tervez vezeték nélküli töltési funkcióval. A vezetőség szeretné biztosítani, hogy minden diák padja vezeték nélküli töltést kaphasson, miközben a költségek figyelembe vételének érdekében minimálisra csökkentené a szükséges adók számát.

Probléma meghatározása

A csapatod feladata egy optimális vezeték nélküli töltőrendszer megtervezése az új okostanterem számára. A tanterem koordináta-rácson ábrázolható, ahol minden egység 1 métert jelent. A diákok padjai különböző koordinátákon helyezkednek el a teremben.

A vezeték nélküli töltőadók mindegyike egy 3 méteres sugarú körkörös töltési zónát biztosít. Tölteni csak azok az eszközök tudnak, amelyek ezen a körön belül helyezkednek el. Feladatod megállapítani, hány adóra van minimálisan szükség, és hová kell ezeket elhelyezni ahhoz, hogy minden diák padja legalább egy adó hatókörébe essen.

Tantermi adatok:

  • A tanterem méretei 10m × 8m (10 × 8 koordináta-rácsként ábrázolva)

  • 24 diákpad van rögzített pozíciókon (használd a Módosító Eszközt a koordináták megadásához)

  • Minden adó 25.000 Ft-ba kerül és 3m sugarú körkörös töltőmezőt hoz létre

  • A költségvetés legfeljebb 4 adót tesz lehetővé

Irányított kérdések

Kezdeti felfedezés

  • Hogyan tudjuk matematikailag ábrázolni egy vezeték nélküli töltőadó hatósugarát?

  • Ha egy adót a (4, 3) pozícióba helyezünk, írd fel annak a körnek az egyenletét, amely a töltési tartományát jelöli.

  • Ha egy pad a (7, 5) pozícióban van, határozd meg, hogy az a (4, 3) pozícióban lévő adó hatósugarán belül van-e.

Stratégia kidolgozása

  • Milyen információra van szükségünk annak megállapításához, hogy egy pont (pad) egy körön belül, kívül vagy rajta helyezkedik el?

  • Hogyan tesztelhetünk hatékonyan több lehetséges adó pozíciót?

  • Milyen matematikai megközelítés segíthet az optimális adó elhelyezés megtalálásában?

Megvalósítás

  • Ha adókat helyezünk el a (3, 2) és (7, 6) pozíciókban, írd fel mindkét töltőmező egyenletét.

  • Mely diákpadok vannak lefedve ezekkel az adókkal? Melyek maradnak fedetlenek?

  • Hogyan határozhatnánk meg a legjobb pozíciót egy harmadik adó számára a fennmaradó padok lefedésére?

Optimalizálás

  • Mi a minimális adószám, amely az összes padot lefedi?

  • Hogyan igazolhatjuk, hogy megoldásunk optimális?

  • Ha áthelyezhetnénk néhány padot, hogyan csökkenthetnénk a szükséges adók számát?

Várt megoldási útvonal

1. megközelítés: Geometriai vizualizáció és tesztelés

  • Probléma megértése: Rajzold fel az összes pad pozícióját egy koordináta-rácsra.

  • Töltőmezők ábrázolása: Ismerd fel, hogy minden adó egy (x-h)² + (y-k)² = 9 egyenletű kört hoz létre, ahol (h,k) az adó helye és a sugár 3m.

  • Stratégiai helyek tesztelése: Azonosítsd a padok csoportosulásait és teszteld az adók elhelyezését.

  • Lefedettség ellenőrzése: Minden lehetséges adó helyhez (h,k) ellenőrizd, hogy az egyes pad pozíciók (x,y) kielégítik-e a (x-h)² + (y-k)² ≤ 9 feltételt.

  • Optimalizálás: Iteratívan módosítsd az adó pozíciókat, hogy minimalizáld a szükséges számot.

Mintamegoldás: Különböző konfigurációk tesztelése után megállapíthatod, hogy három adó a (2.5, 2), (7.5, 2) és (5, 6) pozíciókban lefedheti mind a 24 padot. Ezt úgy ellenőrizheted, hogy megmutatod, minden (xᵢ, yᵢ) pad pozíció kielégít legalább egyet ezek közül az egyenlőtlenségek közül: (xᵢ - 2.5)² + (yᵢ - 2)² ≤ 9 (xᵢ - 7.5)² + (yᵢ - 2)² ≤ 9 (xᵢ - 5)² + (yᵢ - 6)² ≤ 9

2. megközelítés: Analitikus optimalizálás

  • Matematikai megfogalmazás: Határozd meg a problémát, mint a minimális számú 3-as sugarú kör megtalálását, amely lefedi az összes adott pontot.

  • Körlefedési algoritmus alkalmazása: Kutass és alkalmazz algoritmusokat a körlefedési problémára.

  • Középpont módszer használata: Azonosítsd a lehetséges kör középpontokat a padpozíciók páronkénti középpontjainak megtalálásával.

  • Lefedettség tesztelése: Minden lehetséges középpontra határozd meg, hány pad esik a 3m-es sugáron belülre.

  • Optimális középpontok kiválasztása: Válaszd ki a minimális számú középpontot, amelyek együttesen lefedik az összes padot.

Mintamegoldás: Használhatsz egy mohó algoritmus megközelítést:

  1. Az első adót úgy helyezd el, hogy a legtöbb padot fedje le

  2. Távolítsd el a lefedett padokat a megfontolásból

  3. Ismételd, amíg minden pad lefedett nem lesz Ez három adós megoldást eredményezhet a (3, 2.5), (8, 3) és (5, 6.5) pozíciókban.

3. megközelítés: Számítógépes szimuláció

  • Matematikai modell létrehozása: Fejlessz ki olyan függvényt, amely kiszámítja a lefedettséget bármely adó konfigurációra.

  • Tesztesetek generálása: Szisztematikusan tesztelj különböző adó elhelyezéseket.

  • Optimalizálási technikák alkalmazása: Alkalmazz kalkulusból származó koncepciókat vagy számítási módszereket az optimális pozíciók megtalálására.

  • Eredmények validálása: Ellenőrizd, hogy megoldásod megfelel-e minden korlátozásnak és költséghatékony-e.

Mintamegoldás: Írhatsz programot vagy használhatsz táblázatkezelőt különböző konfigurációk szimulálásához, megállapítva, hogy három adó a (2, 2), (8, 2) és (5, 6) pozíciókban optimális lefedettséget biztosít.

Kiegészítési lehetőségek

  • Költségoptimalizálás: Ha minden adó 25.000 Ft-ba kerül, és egy pad áthelyezése 5.000 Ft, költséghatékonyabb lenne-e átrendezni néhány padot a szükséges adók számának csökkentése érdekében?

  • Energiahatékonyság: Ha a töltési hatékonyság csökken az adótól való távolsággal az E = 100 - 10d² képlet szerint (ahol d a távolság méterben és E a hatékonyság százalékban), határozd meg az átlagos töltési hatékonyságot a konfigurációdra.

  • 3D kiterjesztés: Ha az adókat 2m magasságban szerelik fel a padlótól, és a padok 0,75m magasak, hogyan befolyásolja ez a töltési sugarat a pad felületén? (Ez bevezeti a 3D távolság és a gömbi egyenletek koncepcióját.)

  • Dinamikus tanterem: Tervezz algoritmust, amely automatikusan újraszámolná az optimális adó pozíciókat, ha a padok elrendezése változna a tanév során.

  • Valós adatgyűjtés: Mérd fel a tényleges tantermedet és pad pozíciókat, majd alkalmazd a matematikai modelled az optimális vezeték nélküli töltési megoldás meghatározásához a saját tantermedre.

Próbáld ki!

Próbáld ki!

Próbáld ki!