Körtételes probléma-alapú tanulási szcenarió

Probléma áttekintése

Ebben a problémaalapú tanulási helyzetben a köregyenletet egy modern okostanterem vezeték nélküli töltőrendszerének tervezésén keresztül fogod felfedezni. A köregyenletekkel, koordinátageometriával és optimalizálással kapcsolatos tudásodat fogod alkalmazni, hogy meghatározd a vezeték nélküli töltőadók optimális elhelyezését, biztosítva ezzel, hogy minden diák eszköze hatékonyan tölthessen.

Tanulási célok

• A kör egyenlet standard formájának megértése és alkalmazása: (x-h)²+(y-k)²=r²

• A kör egyenlet standard és általános formái közötti átváltás: x² + y² + Dx + Ey + F = 0

• Egy kör középpontjának és sugarának meghatározása az egyenlete alapján

• Pontok közötti távolság kiszámítása koordináta-rendszerben

• A kör tulajdonságainak alkalmazása valós problémák megoldására

• Objektumok optimális elhelyezése geometriai korlátok figyelembevételével

Valós kontextus

A modern tantermekben egyre nagyobb szerepet kap a technológia, a diákok táblagépeket, laptopokat és más eszközöket használnak. A vezeték nélküli töltési technológia gyorsan fejlődik, lehetővé téve, hogy az eszközöket fizikai kábelek nélkül töltsd fel, amikor egy töltőadó hatósugarán belül vannak. Ezeknek az adóknak azonban korlátozott a hatótávolsága, és telepítésük drága lehet.

Az iskolád egy "okostantermet" tervez vezeték nélküli töltési funkcióval. A vezetőség szeretné biztosítani, hogy minden diák padja vezeték nélküli töltést kaphasson, miközben a költségek figyelembe vételének érdekében minimálisra csökkentené a szükséges adók számát.

Probléma meghatározása

A csapatod feladata egy optimális vezeték nélküli töltőrendszer megtervezése az új okostanterem számára. A tanterem koordináta-rácson ábrázolható, ahol minden egység 1 métert jelent. A diákok padjai különböző koordinátákon helyezkednek el a teremben.

A vezeték nélküli töltőadók mindegyike egy 3 méteres sugarú körkörös töltési zónát biztosít. Tölteni csak azok az eszközök tudnak, amelyek ezen a körön belül helyezkednek el. Feladatod megállapítani, hány adóra van minimálisan szükség, és hová kell ezeket elhelyezni ahhoz, hogy minden diák padja legalább egy adó hatókörébe essen.

Tantermi adatok:

• A tanterem méretei 10m × 8m (10 × 8 koordináta-rácsként ábrázolva)

• 24 diákpad van rögzített pozíciókon (használd a Módosító Eszközt a koordináták megadásához)

• Minden adó 25.000 Ft-ba kerül és 3m sugarú körkörös töltőmezőt hoz létre

• A költségvetés legfeljebb 4 adót tesz lehetővé

Irányított kérdések

Kezdeti felfedezés

• Hogyan tudjuk matematikailag ábrázolni egy vezeték nélküli töltőadó hatósugarát?

• Ha egy adót a (4, 3) pozícióba helyezünk, írd fel annak a körnek az egyenletét, amely a töltési tartományát jelöli.

• Ha egy pad a (7, 5) pozícióban van, határozd meg, hogy az a (4, 3) pozícióban lévő adó hatósugarán belül van-e.

Stratégia kidolgozása

• Milyen információra van szükségünk annak megállapításához, hogy egy pont (pad) egy körön belül, kívül vagy rajta helyezkedik el?

• Hogyan tesztelhetünk hatékonyan több lehetséges adó pozíciót?

• Milyen matematikai megközelítés segíthet az optimális adó elhelyezés megtalálásában?

Megvalósítás

• Ha adókat helyezünk el a (3, 2) és (7, 6) pozíciókban, írd fel mindkét töltőmező egyenletét.

• Mely diákpadok vannak lefedve ezekkel az adókkal? Melyek maradnak fedetlenek?

• Hogyan határozhatnánk meg a legjobb pozíciót egy harmadik adó számára a fennmaradó padok lefedésére?

Optimalizálás

• Mi a minimális adószám, amely az összes padot lefedi?

• Hogyan igazolhatjuk, hogy megoldásunk optimális?

• Ha áthelyezhetnénk néhány padot, hogyan csökkenthetnénk a szükséges adók számát?

Várt megoldási útvonal

1. megközelítés: Geometriai vizualizáció és tesztelés

• Probléma megértése: Rajzold fel az összes pad pozícióját egy koordináta-rácsra.

• Töltőmezők ábrázolása: Ismerd fel, hogy minden adó egy (x-h)² + (y-k)² = 9 egyenletű kört hoz létre, ahol (h,k) az adó helye és a sugár 3m.

• Stratégiai helyek tesztelése: Azonosítsd a padok csoportosulásait és teszteld az adók elhelyezését.

• Lefedettség ellenőrzése: Minden lehetséges adó helyhez (h,k) ellenőrizd, hogy az egyes pad pozíciók (x,y) kielégítik-e a (x-h)² + (y-k)² ≤ 9 feltételt.

• Optimalizálás: Iteratívan módosítsd az adó pozíciókat, hogy minimalizáld a szükséges számot.

Mintamegoldás: Különböző konfigurációk tesztelése után megállapíthatod, hogy három adó a (2.5, 2), (7.5, 2) és (5, 6) pozíciókban lefedheti mind a 24 padot. Ezt úgy ellenőrizheted, hogy megmutatod, minden (xᵢ, yᵢ) pad pozíció kielégít legalább egyet ezek közül az egyenlőtlenségek közül: (xᵢ - 2.5)² + (yᵢ - 2)² ≤ 9 (xᵢ - 7.5)² + (yᵢ - 2)² ≤ 9 (xᵢ - 5)² + (yᵢ - 6)² ≤ 9

2. megközelítés: Analitikus optimalizálás

• Matematikai megfogalmazás: Határozd meg a problémát, mint a minimális számú 3-as sugarú kör megtalálását, amely lefedi az összes adott pontot.

• Körlefedési algoritmus alkalmazása: Kutass és alkalmazz algoritmusokat a körlefedési problémára.

• Középpont módszer használata: Azonosítsd a lehetséges kör középpontokat a padpozíciók páronkénti középpontjainak megtalálásával.

• Lefedettség tesztelése: Minden lehetséges középpontra határozd meg, hány pad esik a 3m-es sugáron belülre.

• Optimális középpontok kiválasztása: Válaszd ki a minimális számú középpontot, amelyek együttesen lefedik az összes padot.

Mintamegoldás: Használhatsz egy mohó algoritmus megközelítést:

1. Az első adót úgy helyezd el, hogy a legtöbb padot fedje le

2. Távolítsd el a lefedett padokat a megfontolásból

3. Ismételd, amíg minden pad lefedett nem lesz Ez három adós megoldást eredményezhet a (3, 2.5), (8, 3) és (5, 6.5) pozíciókban.

3. megközelítés: Számítógépes szimuláció

• Matematikai modell létrehozása: Fejlessz ki olyan függvényt, amely kiszámítja a lefedettséget bármely adó konfigurációra.

• Tesztesetek generálása: Szisztematikusan tesztelj különböző adó elhelyezéseket.

• Optimalizálási technikák alkalmazása: Alkalmazz kalkulusból származó koncepciókat vagy számítási módszereket az optimális pozíciók megtalálására.

• Eredmények validálása: Ellenőrizd, hogy megoldásod megfelel-e minden korlátozásnak és költséghatékony-e.

Mintamegoldás: Írhatsz programot vagy használhatsz táblázatkezelőt különböző konfigurációk szimulálásához, megállapítva, hogy három adó a (2, 2), (8, 2) és (5, 6) pozíciókban optimális lefedettséget biztosít.

Kiegészítési lehetőségek

• Költségoptimalizálás: Ha minden adó 25.000 Ft-ba kerül, és egy pad áthelyezése 5.000 Ft, költséghatékonyabb lenne-e átrendezni néhány padot a szükséges adók számának csökkentése érdekében?

• Energiahatékonyság: Ha a töltési hatékonyság csökken az adótól való távolsággal az E = 100 - 10d² képlet szerint (ahol d a távolság méterben és E a hatékonyság százalékban), határozd meg az átlagos töltési hatékonyságot a konfigurációdra.

• 3D kiterjesztés: Ha az adókat 2m magasságban szerelik fel a padlótól, és a padok 0,75m magasak, hogyan befolyásolja ez a töltési sugarat a pad felületén? (Ez bevezeti a 3D távolság és a gömbi egyenletek koncepcióját.)

• Dinamikus tanterem: Tervezz algoritmust, amely automatikusan újraszámolná az optimális adó pozíciókat, ha a padok elrendezése változna a tanév során.

• Valós adatgyűjtés: Mérd fel a tényleges tantermedet és pad pozíciókat, majd alkalmazd a matematikai modelled az optimális vezeték nélküli töltési megoldás meghatározásához a saját tantermedre.