Óraterv: Kombinatorikai kaland

Tanítási célok

Az óra végére a diákok képesek lesznek:

• Megérteni és alkalmazni az összegszabályt és a szorzatszabályt.

• Egyszerű permutációs problémákat megoldani.

• Felismerni a kombinatorika relevanciáját a valós világban.

Szükséges anyagok

• Tábla és kréta/marker

• Indexkártyák vagy kis papírdarabok

• Díjak a nyertes csapatnak (opcionális)

Az óra időtartama: 45 perc

Az óra vázlata

1. Bevezetés (5 perc)

Miért: Azért, hogy azonnal felkeltsük a diákok figyelmét és kíváncsiságát. Egy valós példa segít nekik megérteni a kombinatorika relevanciáját a mindennapi életükben.

Hogyan: Kezdd az órát azzal, hogy megkérdezed a diákokat, vajon elgondolkodtak-e már azon, milyen kihívásokkal néznek szembe a Sziget Fesztivál szervezői a fellépők beosztásánál. Írj fel néhány példát a táblára, és kérd meg őket, hogy tippeljék meg a lehetséges elrendezések számát. Ez felkelti az érdeklődésüket és megalapozza az órát.

Forgatókönyv: "Jó reggelt, osztály! Elgondolkodtatok már azon, milyen nehéz lehet a Sziget Fesztivál szervezőinek beosztani a fellépőket a különböző színpadokra? Például, ha 5 hasonló méretű színpad van és hozzá 15 zenekar, hányféleképpen lehet őket beosztani? Fedezzük fel együtt!"

2. Az összegszabály felfedezése (15 perc)

Miért: Az összegszabály alapvető fogalom a kombinatorikában. Egy valós példa segítségével segíthetjük a diákokat megérteni, mikor és hogyan alkalmazzák.

Hogyan: Mutass be a diákoknak egy olyan forgatókönyvet, amelyben a Sziget Fesztivál szervezőinek különböző lehetőségek közül kell választaniuk. Például választhatnak hazai vagy külföldi előadókat a nyitónapra, különböző opciókkal mindegyik kategóriában. Vezesse őket végig az összegszabály segítségével a választási lehetőségek számának kiszámításán.

Gondolkozz-Dolgozz Párban-Oszd Meg-Tevékenység

Bevezetés: "Képzeljétek el, hogy a Sziget Fesztivál szervezői vagytok, és a nyitónapra a nagyszínpadra vagy hazai, vagy külföldi előadót kell választanotok nyitóelőadónak. 6 hazai és 8 külföldi előadó áll rendelkezésre. Hány különböző lehetőség van a nyitóelőadó kiválasztására?"

Tanulói Feladat Kártya

(2 Perc)

SZIGET FESZTIVÁL TERVEZÉS

Te szervezed a Sziget Fesztivál nyitónapját!

- Pontosan EGY előadót kell kiválasztanod a főszínpadra

- Rendelkezésre álló előadók: 6 magyar művész és 8 nemzetközi művész

- GONDOLKOZZ: Hány különböző lehetséges választásod van?

- Dolgozz önállóan 2 percig

- Jegyezd fel a megoldási megközelítésedet és a végső választ

1. Milyen információkat ad meg a probléma?

2. Gondold végig, hogy mely művészek jönnek szóba? Ès összesen hányan vannak?

Páros Megbeszélés Ösztönzők

(5 perc)

PÁROS MEGBESZÉLÉS VEZETŐ

Hasonlítsátok össze a problémamegoldási megközelítéseiteket:

1. Megbeszélés: Hogyan számoltátok a lehetőségek teljes számát?

2. Kihívás: Mi lenne, ha 23 magyar és 7 nemzetközi előadó lenne?

3. Meg tudtok-e fogalmazni egy általános szabályt az ilyen típusú problémákra?

Gondoljátok át: Mit jelent az 'ilyen típusú probléma'? Milyen feltételek mellett érvényes ez a szabály?

Páros Munkafüzet

PÁROS VÁLASZOLÓ LAP

Nevek: _________________ & _________________

1. A megoldásunk az eredeti problémára (6 magyar + 8 nemzetközi előadó):

Lehetőségek összes száma: __________

Ezt így kaptuk meg a magyar illetve külföldi előadók számából: ________

2. A megoldásunk 23 magyar + 7 nemzetközi előadó esetén:

Lehetőségek összes száma: _______

Számolás: _____________

3. Általános szabályunk:

_________________________________________________

_________________________________________________

4. A szabály mire vonatkozik pontosan? Ès mik az érvényességének a feltételei?

_________________________________________________

_________________________________________________

Megosztási Fázis Anyagai (5 perc)

Osztálymegbeszélés Ösztönzők

1. Mi a lehetőségek teljes száma az eredeti problémában? (14)

2. Milyen matematikai kifejezés reprezentálja ezt a helyzetet? (6+8)

3. Hogyan kapcsolódik az eredmény a magyar és nemzetközi előadók számához? (a magyar és a külföldi előadók száma összeadódik)

4. Mi lenne az eredmény 23 magyar és 7 nemzetközi előadó esetén? (30)

5. Tudnál egy példát olyan feladatra, ami nagyon hasonló az előzőhöz, csak épp nem zenekarokról szól, hanem mondjuk nadrágokról? (Van 6 hosszú nadrágom és 8 rövidnadrágom. Nem tudom eldönteni melyiket vegyem fel. Hány eshetőség közül kell választanom?)

6. Hogy lehetne úgy megfogalmazni a feladatot, hogy az új megfogalmazás épp úgy illjen a szigetes, mint a nadrágos feladatra? Mit kell itt csinálnunk általános értelemben? (Két külön kategóriából kell kiválasztanunk pontosan egy elemet. )

7. Milyen általános szabályt tudunk megfogalmazni? (Az összes lehetőség száma egyenlő az egyes kategóriákban lévő elemek számának összegével.)

8. Milyen feltételek mellett érvényes ez a szabály? (Kategóriákról van szó: nincs közös elemük, de együttesen tartalmazzák az összes elemet + pontosan egy elemet kell választanunk)

Vizuális Segédeszköz Sablon

SZÁMLÁLÁS ÖSSZEADÁSI ELVE

Amikor EGY elemet választunk ki több kategóriából:

Lehetőségek összes száma = Az egyes kategóriákban lévő lehetőségek összege

A Sziget Fesztivál esetében:

Összes lehetőség = Magyar előadók + Nemzetközi előadók

Összes lehetőség = 6 + 8 = 14

Általános szabály: Amikor egy elemet választunk n különböző kategóriából, ahol a₁, a₂, ..., aₙ lehetőségek vannak az egyes kategóriákban:

Összes lehetőség = a₁ + a₂ + ... + aₙ

A szabály érvényességének feltételei:

1. Pontosan EGY elemet választunk ki

2. A kategóriák kölcsönösen kizáróak (egy elem nem tartozhat egyszerre több kategóriába)

3. A kategóriák együttesen kimerítőek (minden lehetséges választás beletartozik valamelyik kategóriába)

Kategória: Olyan elemek csoportja, amelyek valamilyen közös tulajdonsággal rendelkeznek és

egyértelműen elkülöníthetők más csoportoktól (pl. magyar előadók, nemzetközi előadók)

3. A szorzatszabály felfedezése (15 perc)

Miért: A szorzatszabály egy másik alapvető fogalom a kombinatorikában. Egy ismerős példa segítségével segíthetjük a diákokat megérteni, mikor és hogyan használják.

Hogyan: Mutasson be a diákoknak egy olyan forgatókönyvet, amelyben a Sziget Fesztivál szervezőinek egymás után több választást kell végrehajtaniuk. Például ki kell választaniuk a nagyszínpad, a sátor színpad és az elektronikus színpad fő fellépőit, különböző opciókkal mindegyikhez. Vezesse őket végig a szorzatszabály segítségével a lehetséges kombinációk számának kiszámításán.

Gondolkozz-Dolgozz Párban-Oszd Meg-Tevékenység

Bevezetés: "Most képzeljétek el, hogy a Sziget Fesztivál fő színpadjainak headlinereit kell kiválasztanotok. 4 lehetséges előadó van a nagyszínpadra, 3 a sátor színpadra és 5 az elektronikus színpadra. Hány különböző módon tudjátok kiválasztani a három színpad fő fellépőit?"

Tanulói Feladat Kártya

(2 Perc)

SZIGET FESZTIVÁL HEADLINEREK

Te választod ki a Sziget Fesztivál három fő színpadának headlinereit!

- Minden színpadra PONTOSAN EGY headlinert kell választanod

- Rendelkezésre álló előadók:

* Nagyszínpad: 4 lehetséges előadó

* Sátor színpad: 3 lehetséges előadó

* Elektronikus színpad: 5 lehetséges előadó

- GONDOLKOZZ: Összesen hányféleképpen választhatod ki a három színpad headlinereit?

- Dolgozz önállóan 2 percig

- Jegyezd fel a megoldási megközelítésedet és a végső választ

1. Milyen információkat ad meg a probléma?

2. Gondold végig, hogy minden színpadra hány lehetőséged van, és hogyan kapcsolódnak ezek a választások egymáshoz.

Páros Megbeszélés Ösztönzők

(5 perc)

PÁROS MEGBESZÉLÉS VEZETŐ

Hasonlítsátok össze a problémamegoldási megközelítéseiteket:

1. Megbeszélés: Hogyan számoltátok ki a lehetséges kombinációk teljes számát?

2. Kihívás: Mi lenne, ha 5 előadó lenne a nagyszínpadra, 2 a sátor színpadra és 6 az elektronikus színpadra?

3. Meg tudtok-e fogalmazni egy általános szabályt az ilyen típusú problémákra?

Gondoljátok át: Mit jelent az 'ilyen típusú probléma'? Milyen feltételek mellett érvényes ez a szabály?

Páros Munkafüzet

PÁROS VÁLASZOLÓ LAP

Nevek: _________________ & _________________

1. A megoldásunk az eredeti problémára (4 nagyszínpad, 3 sátor, 5 elektronikus):

Lehetőségek összes száma: __________

Ezt így kaptuk meg a különböző színpadok lehetőségeiből: ________

2. A megoldásunk 5 nagyszínpad, 2 sátor, 6 elektronikus előadó esetén:

Lehetőségek összes száma: _______

Számolás: _____________

3. Általános szabályunk:

_________________________________________________

_________________________________________________

4. A szabály mire vonatkozik pontosan? És mik az érvényességének a feltételei?

_________________________________________________

_________________________________________________

Megosztási Fázis Anyagai (5 perc)

Osztálymegbeszélés Ösztönzők

1. Mi a lehetőségek teljes száma az eredeti problémában? (60)

2. Milyen matematikai kifejezés reprezentálja ezt a helyzetet? (4×3×5)

3. Hogyan kapcsolódik az eredmény a különböző színpadok lehetőségeinek számához? (a három színpad lehetőségeinek száma összeszorzódik)

4. Mi lenne az eredmény 5 nagyszínpad, 2 sátor, 6 elektronikus előadó esetén? (60)

5. Tudnál egy példát olyan feladatra, ami nagyon hasonló az előzőhöz, csak épp nem fesztiválról szól? (Van 4 pólóm, 3 nadrágom és 5 cipőm. Hányféleképpen öltözködhetek fel, ha mindegyikből pontosan egyet kell viselnem?)

6. Hogy lehetne úgy megfogalmazni a feladatot, hogy az új megfogalmazás épp úgy illjen a szigetes, mint az öltözködős feladatra? Mit kell itt csinálnunk általános értelemben? (Több különböző kategóriából kell kiválasztanunk pontosan egy-egy elemet.)

7. Milyen általános szabályt tudunk megfogalmazni? (Az összes lehetőség száma egyenlő az egyes kategóriákban lévő elemek számának szorzatával.)

8. Milyen feltételek mellett érvényes ez a szabály? (Több különböző kategóriánk van, mindegyikből pontosan egy elemet kell választanunk, és a választások függetlenek egymástól.)

Vizuális Segédeszköz Sablon

SZÁMLÁLÁS SZORZÁSI ELVE

Amikor TÖBB kategóriából választunk EGY-EGY elemet:

Lehetőségek összes száma = Az egyes kategóriákban lévő lehetőségek szorzata

A Sziget Fesztivál esetében:

Összes lehetőség = Nagyszínpad lehetőségei × Sátor színpad lehetőségei × Elektronikus színpad lehetőségei

Összes lehetőség = 4 × 3 × 5 = 60

Általános szabály: Amikor n különböző kategóriából választunk egy-egy elemet, ahol a₁, a₂, ..., aₙ lehetőségek vannak az egyes kategóriákban:

Összes lehetőség = a₁ × a₂ × ... × aₙ

A szabály érvényességének feltételei:

1. Minden kategóriából PONTOSAN EGY elemet választunk

2. A választások függetlenek egymástól (az egyik kategóriából való választás nem befolyásolja a másik kategóriából való választást)

3. A kategóriák különbözőek (pl. nagyszínpad, sátor színpad, elektronikus színpad)

Kategória: Olyan elemek csoportja, amelyek valamilyen közös tulajdonsággal rendelkeznek és

egyértelműen elkülöníthetők más csoportoktól (pl. nagyszínpad előadói, sátor színpad előadói)

5. Összefoglalás és áttekintés (5 perc)

Miért: Lényeges összefoglalni az órán tanult kulcsfogalmakat, és lehetőséget adni a diákoknak kérdések feltevésére és a félreértések tisztázására.

Hogyan: Foglald össze az összegszabályt, és a szorzatszabályt. Kérd meg a diákokat, hogy osszák meg, mit tanultak vagy találtak érdekesnek az órán. Bátorítsd őket, hogy tegyenek fel kérdéseket, ha van valami.

Forgatókönyv: "Szép munka, köszönöm mindenkinek! Ma az összegszabályról, és a szorzatszabályról tanultunk a Sziget Fesztivál szervezési feladatain keresztül. Ki tudna megmondani valamit, amit tanult vagy érdekesnek talált? Van valami kérdés, mielőtt befejeznénk?"

És itt van, kedves tanár! Egy 45 perces tanterv, amelynek célja, hogy lekösse és motiválja 9. osztályos diákjait a kombinatorika lenyűgöző világában. Ne feledd, a siker kulcsa az, hogy az anyagot relevánssá, interaktívvá és szórakoztatóvá tegyük. Egy kis kreativitással és sok lelkesedéssel diákjaid lelkesen tanulnak majd, és felfedezik a matematika csodáit.

Boldog tanítást, és legyen osztályod tele kíváncsisággal, nevetéssel és a tanulás örömével!